已知標準常態分配 Z 之累積機率值可以直接選取 prob.pdf. pdf 第15頁註明 P(Z <= z) 表示標準常態機率分配的從 -∞ 累計至z值的機率.
例1
P(Z <= 1.96)=?
方法1: 查表
pdf第16頁, z值找到1.9 那一列, 右側對應上面 0.06的對應值是 0.9750,
因此 P(Z <= 1.96)=0.9750
方法2: pnorm
輸入?pnorm 結果顯示是計算 "distribution function", 預設值 lower.tail = TRUE 表示計算 P(Z <= z) .
> pnorm(1.96) # 結果與查表相同
[1] 0.9750021
例2
P(Z > 1.96)=?
方法1: 查表
pdf第16頁, z值找到1.9 那一列, 右側對應上面是 0.06的對應值是 0.9750,
因此 P(Z <= 1.96)=0.9750,
所以 P(Z > 1.96) = 1- P(Z <= 1.96) = 1 - 0.9750 = 0.025
方法2: pnorm
輸入?pnorm 結果顯示是計算 "distribution function", lower.tail = FALSE 表示計算 P(Z > z) .
> pnorm(1.96, lower.tail = FALSE) # 結果與查表相同
[1] 0.0249979
說明: 如果隨機變數X符合常態分配 X~N(μ, σ^2), 記得 先轉換為 Z =(X-μ)/σ 標準常態分配.
例3
P(Z > z) = 0.05, 計算z=?
方法1: 查表
P(Z > z) = 0.05, P(Z <= z) = 1 - P(Z > z) =1- 0.05 = 0.95, 查表沒有查詢到 0.95累積機率值, P(Z <= 1.64) =0.945, P(Z <= 1.65) =0.9505, 0.95介於 0.945與0.9505之間, 即 z值介於 1.64 與 1.65 之間, 採用內插法:
(z-1.64)/(1.65-1.64) = (0.95-0.9495)/(0.9505-0.9495), z=1.645
方法2: qnorm
輸入?qnorm 結果顯示是計算 " quantile function", 設定 lower.tail = FALSE 表示計算 P(Z > z) .
> qnorm(0.05, lower.tail = FALSE) # 結果與查表相同
[1] 1.644854
例4
P(Z > 3.69)=?
方法1: 查表
pdf第16頁, z值最多3.59 因此本法無效.
方法2: pnorm
> pnorm(3.96, lower.tail = FALSE) # 結果為3.747488*10^(-5)=0.00003747488
[1] 3.747488e-05
結論:
1. 如果隨機變數X符合常態分配 X~N(μ, σ^2), 記得 先轉換為 Z =(X-μ)/σ 標準常態分配.
2. pnorm --> 給定z值計算機率值
3. qnorm --> 給定機率值計算z值
思考題:
如何應用R語言列出標準常態分配之累積機率值表格, 歡迎各位R友~~~動動腦 ^_^
# end
