機率分配查表與 pnorm, qnorm應用

統計學課本最後附錄包括標準常態分配之累積機率值等表格, 以下說明表格之使用與R內建 pnorm, qnorm之應用.

已知標準常態分配 Z 之累積機率值可以直接選取 prob.pdf. pdf 第15頁註明 P(Z <= z) 表示標準常態機率分配的從 -∞  累計至z值的機率.  

prob.pdf 下載 https://github.com/rwepa/DataDemo/blob/master/prob.pdf

例1

P(Z <= 1.96)=?

方法1: 查表

pdf第16頁,  z值找到1.9 那一列, 右側對應上面 0.06的對應值是 0.9750, 

因此 P(Z <= 1.96)=0.9750

方法2:  pnorm

輸入?pnorm  結果顯示是計算 "distribution function", 預設值 lower.tail = TRUE 表示計算 P(Z <= z) .

> pnorm(1.96)  # 結果與查表相同

[1] 0.9750021

例2

P(Z > 1.96)=?

方法1: 查表

pdf第16頁,  z值找到1.9 那一列, 右側對應上面是 0.06的對應值是 0.9750, 

因此 P(Z <= 1.96)=0.9750, 

所以  P(Z > 1.96) = 1- P(Z <= 1.96) = 1 - 0.9750 =  0.025

方法2:  pnorm

輸入?pnorm  結果顯示是計算 "distribution function",  lower.tail = FALSE 表示計算 P(Z > z) .

> pnorm(1.96,  lower.tail = FALSE)  # 結果與查表相同

[1]  0.0249979

說明: 如果隨機變數X符合常態分配 X~N(μ, σ^2), 記得 先轉換為 Z =(X-μ)/σ 標準常態分配.

例3

P(Z > z) =  0.05, 計算z=?

方法1: 查表

P(Z > z) =  0.05,  P(Z <= z) =  1 -  P(Z > z) =1-  0.05 = 0.95, 查表沒有查詢到 0.95累積機率值,  P(Z <= 1.64) =0.945,  P(Z <= 1.65) =0.9505, 0.95介於 0.945與0.9505之間, 即 z值介於 1.64 與 1.65  之間, 採用內插法:

(z-1.64)/(1.65-1.64) =  (0.95-0.9495)/(0.9505-0.9495), z=1.645

方法2:  qnorm

輸入?qnorm  結果顯示是計算 " quantile function",  設定 lower.tail = FALSE 表示計算 P(Z > z) .

> qnorm(0.05,  lower.tail = FALSE)  # 結果與查表相同

[1]  1.644854

例4

P(Z > 3.69)=?

方法1: 查表

pdf第16頁,  z值最多3.59 因此本法無效.

方法2:  pnorm

> pnorm(3.96,  lower.tail = FALSE)  # 結果為3.747488*10^(-5)=0.00003747488

[1]  3.747488e-05

結論: 

1. 如果隨機變數X符合常態分配 X~N(μ, σ^2), 記得 先轉換為 Z =(X-μ)/σ 標準常態分配.

2. pnorm --> 給定z值計算機率值

3. qnorm --> 給定機率值計算z值

思考題:

如何應用R語言列出標準常態分配之累積機率值表格, 歡迎各位R友~~~動動腦 ^_^

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